मान लीजिए कि alpha और beta समीकरण x^2 + 2x + | vedclass

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Question

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + 2x + 2 = 0$ है।द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 -

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$-256$

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(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + 2x + 2 = 0$ है।द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = -1 \pm i$ प्राप्त होता है।मान लीजिए $\alpha = -1 + i$ और $\beta = -1 - i$ है।ध्रुवीय रूप में,$\alpha = \sqrt{2} e^{i(3\pi/4)}$ और $\beta = \sqrt{2} e^{-i(3\pi/4)}$ है।तब $\alpha^{15} + \beta^{15} = (\sqrt{2})^{15} [e^{i(45\pi/4)} + e^{-i(45\pi/4)}]$ होगा।यूलर के सूत्र का उपयोग करने पर,यह $2^{7} \cdot \sqrt{2} \cdot 2 \cos(45\pi/4)$ हो जाता है।चूंकि $45\pi/4 = 11\pi + \pi/4$,इसलिए $\cos(45\pi/4) = \cos(11\pi + \pi/4) = -\cos(\pi/4) = -1/\sqrt{2}$ है।अतः,$\alpha^{15} + \beta^{15} = 2^8 \cdot \sqrt{2} \cdot (-1/\sqrt{2}) = -2^8 = -256$।

मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 + 2x + 2 = 0$ के दो मूल हैं,तो $\alpha^{15} + \beta^{15}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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